数学教研组

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第一课时 平面

第一课时   

(一)教学目标

1.知识与技能

1)利用生活中的实物对平面进行描述;

2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图

3)掌握平面的基本性质及作用;

4)培养学生的空间想象能力.

2.过程与方法

1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;

2)让学生归纳整理本节所学知识.

3.情感、态度与价值观

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.

(二)教学重点、难点

重点:1、平面的概念及表示;

2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.

难点:平面基本性质的掌握与运用.

(三)教学方法

师生共同讨论法

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象?

师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面,平静的湖面等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多的例子吗?引导学生观察、思考、举例和相交交流,教师对学生活动给予评价,点出主题.

 

培养学生感性认识

探索新知

1.平面的概念

随堂练习 判定下列命题是否正确:

①书桌面是平面;

8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;

③有一个平面的长是50m,宽是20m

④平面是绝对的平,无厚度,可以无限延展的抽象的数学概念.

师:刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象,几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是向四周无限伸展的,现在请大家判定下列命题是否正确?

生:平面是没有厚度,无限延展的;所以①②③错误;④正确.

 

 

加深学生对平面概念的理解.

探索新知

2.平面的画法及表示

1)平面的画法

通常我们把水平的平面画成平行四边形,用平行四边形表示平面,其中平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.

2)平面的表示

1:平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C},平面{C}{C}{C}{C}.

2:平面ABCD,平面AC或平面BD.

3)点与平面的关系

平面内有无数个点,平面可看成点的集合. A在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内,记作:A{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}. B在平面外,记作:B{C}{C}{C}{C}.

师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画)

师:这位同学画的实质上是直线的部分,通过想象两端无限延伸而认为是一条直线,仿照直线的画法,我们可以怎样画一个平面?

生:画出平面的一部分,加以想象,四周无限延展,来表示平面.

师:大家画一下.

学生动手画平面,将有代表性的画在黑板上,教师给予点评,并指出一般画法及注意事项(作图)

加深学生对平面概念的理解,培养学生知识迁移能力,空间想象能力和发散思想能力.

探索新知

3.平面的基本性质

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

1)公理1的图形如图

2)符号表示为:{C}{C}{C}{C}

3)公理1的作用:判断直线是否在平面内.

 

公理2:过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.

{C}{C}{C}{C}{C}{C}1)公理2的图形如图

2)符号表示为:C {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}直线AB {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}存在惟一的平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}

使得{C}{C}{C}{C}

注意:(1)公理中“有且只有一个”的含义是:“有”,是说图形存在,“只有一个”,是说图形惟一,“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的,而且只有一个”,也即不共线的三点确定一个平面.

“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.

2)过ABC三点的平面可记作“平面ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

1)公理3的图形如图

2)符号表示为:

{C}{C}{C}{C}

3)公理3作用:判断两个平面是否相交.

师:我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理,就是不必证明而直接被承认的真命题,它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题:将直线上的一点固定在平面上,调整直线上另一点的位置,观察其变化,指出直线在何时落在平面内.

生:当直线上两点在一个平面内时,这条直线落在平面内.

师:这处结论就是我们要讨论的公理1(板书)

师:从集合的角度看,公理1就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集.

直线是由无数个点组成的集合,点P在直线l上,记作Pl;点P在直线l外,记作P {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}l;如果直线l上所有的点都在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内,就说直线l在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内,或者说平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}经过直线l,记作l{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C},否则就说直线l在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外,记作{C}{C}{C}{C}.

下面请同学们用符号表示公理1.

学生板书,教师点评并完善.

大家回忆一下几点可以确定一条直线

生:两点可确定一条直线.

师:那么几点可以确定上个平面呢?

学生思考,讨论然后回答.

1:三点可确定一个平面

师:不需要附加条件吗?

2:还需要三点不共线

师:这个结论就是我们要讨论的公理2

师投影公理2图示与符号表示,分析注意事项.

师:下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁,思考这两个平面的公共点有多少个?它们有什么特点.

生:这两个平面的无穷多个公共点,且所有这些公共点都在一条直线上.

师:我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(板书)这就是我们要学的公理3.

通过实验,培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.

 

 

 

 

 

 

 

加强学生对知识的理解,培养学生语言(符号图形)的表达能力.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

学生在观察、实验讨论中得出正确结论,加深了对知识的理解,还培养了他们思维的严谨性.

典例分析

如图,用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.

分析:根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.

解:在(1)中,{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

在(2)中,{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

学生先独立完成,让两个学生上黑板,师生给予点评

巩固所学知识

随堂练习

1.下列命题正确的是(  

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

2.(1)不共面的四点可以确定几个平面?

2)共点的三条直线可以确定几个平面?

3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.

1)平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}与平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}相交,它们只有有限个公共点.   

2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.

  

3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.          

4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.                    

4.用符号表示下列语句,并画出相应的图形:

1)点A在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内,但点B在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外;

2)直线a经过平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外的一点M

3)直线a既在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内,又在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

学生独立完成

答案:

1D

2.(1)不共面的四点可确定4个平面.

2)共点的三条直线可确定一个或3个平面.

3.(1)×(2)√(3)√(4)√

4.(1A{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}B{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

2M{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}M{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

3a{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}a{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

 

 

 

 

 

巩固所学知识

归纳总结

1.平面的概念,画法及表示方法.

2.平面的性质及其作用

3.符号表示

4.注意事项

学生归纳、总结教学、补充完善.

回顾、反思、归纳知识,提升自我整合知识的能力,培养思维严谨性固化知识,提升能力.

课后作业

2.1第一课时 习案

学生独立完成

 

备选例题

1 已知:abcd是不共点且两两相交的四条直线,求证:abcd共面.

证明  1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设abc相交于一点A

AÏd,如图1.∴直线dA确定一个平面α

又设直线dabc分别相交于EFG

AEFGα

AEαAEa,∴a{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}α

同理可证b{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}αc{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}α

abcd在同一平面α内.

2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2

∵这四条直线两两相交,则设相交直线ab确定一个平面α

设直线cab分别交于点HK,则HKα

HKc,∴c,c{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}α

同理可证d{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}α

abcd四条直线在同一平面α内.

说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.

正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点OACBD交于点M,求证:点C1OM共线.

{C}{C}{C}{C}{C}{C}分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可.

解答:如图所示A1AC1C{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}确定平面A1C

{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}

*O∈平面A1C

 

{C}{C}A1C{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}平面A1C

 

OA1C

平面BC1D∩直线A1C = O

{C}{C}{C}{C}*{C}{C}{C}{C}O∈平面BC1D

{C}{C}{C}{C}*{C}{C}{C}{C}O在平面A1C与平面BC1D的交线上.

{C}{C}ACBD = M{C}{C}{C}{C}*{C}{C}{C}{C}M∈平面BC1D

M∈平面A1C

平面BC1D∩平面A1C = C1M

{C}{C}{C}{C}*{C}{C}{C}{C}OC1M,即OC1M三点共线.

评析:证明点共线的问题,一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.

 

 

 

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