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第三课时 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系

第三课时  空间中直线与平面、

平面与平面之间的位置关系

(一)教学目标

1.知识与技能

(1)了解空间中直线与平面的位置关系;

(2)了解空间中平面与平面的位置关系;

(3)培养学生的空间想象能力.

2.过程与方法

(1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;

(2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.

(二)教学重点、难点

重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.

难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.

(三)教学方法

借助实物,让学生观察事物、思考等,讲练结合,较好地完成本节课的教学目标.

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

问题1:空间中直线和直线有几种位置关系?

问题2:一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系?

1:平行、相交、异面

2:有三种位置关系:

(1)直线在平面内

(2)直线与平面相交

(3)直线与平面平行

师肯定并板书,点出主题.

复习回顾,探索求真,激发学习兴趣.

探索新知

1.直线与平面的位置关系.

(1)直线在平面内——有无数个公共点.

(2)直线与平面相交——有且仅有一个公共点.

(3)直线在平面平行——没有公共点.

其中直线与平面相交或平行的情况,统称为直线在平面外,记作a.

直线a在面内的符号语言是a.图形语言是:

 

直线a与面相交的a∩= A.图形语言是符号语言是:

 

 

 
   

直线a与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是:

 

师:有谁能讲出这三种位置有什么特点吗?

生:直线在平面内时二者有无数个公共点.

直线与平面相交时,二者有且仅有一个公共点.

直线与平面平行时,三者没有公共点(师板书)

师:我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.

师:直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的?谁来画图表示一个和书写一下.

学生上台画图表示.

师;好.应该注意:画直线在平面内时,要把直线画在表示平面的平行四边形内;画直线在平面外时,应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.

加强对知识的理解培养,自觉钻研的学习习惯.数形结合,加深理解.

探索新知

2.平面与平面的位置关系

(1)问题1:拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

(2)问题2:如图所示,围成长方体ABCD ABCD′的六个面,两两之间的位置关系有几种?

(2)平面与平面的位置关系

平面与平面平行——没有公共点.

平面与平面相交——有且只有一条公共直线.

平面与平面平行的符号语言是∥.图形语言是:

师:下面请同学们思考以下两个问题(投影)

生:平行、相交.

师:它们有什么特点?

生:两个平面平行时二者没有公共点,两个平面相交时,二者有且仅有一条公共直线(师板书)

师:下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……

师:下面我们来看几个例子(投影例1)

通过类比探索,培养学生知识迁移能力. 加强知识的系统性.

典例分析

例1 下列命题中正确的个数是( B )

①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥.

②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行.

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.

④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线没有公共点.

A.0  B.1  C.2  D.3

例2 已知平面∥,直线a,求证a∥.

证明:假设a∥,则a在内或a与相交.

a与有公共点.

a.

a与有公共点,与面∥面矛盾.

∴∥.

学生先独立完成,然后讨论、共同研究,得出答案.教师利用投影仪给出示范.

师解:如图,我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;A1B1所在直线平行于平面ABCDA1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1ABA1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB  平面ABCD,所以命题③不正确;l与平面平行,则l与无公共点,l与平面内所有直线都没有公共点,所以命题④正确,应选B.

师投影例2,并读题,先学生尝试证明,发现正面证明并不容易,然后教师给予引导,共同完成,并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解.

例1 教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法,同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活,并加深对面面平行、线面平行的理解.

随堂练习

1.如图,试根据下列条要求,把被遮挡的部分改为虚线:

(1)AB没有被平面遮挡;

(2)AB被平面遮挡.

答案:略

2.已知,,直线ab,且∥,aa,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

答案:平行或异面

3.如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论.

答案:三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条.

4.空间的三个平面的位置关系有几种情形?请画图表示所有情形.

答案:5种  图略

学生独立完成

培养识图能力,探索意识和思维的严谨性.

归纳总结

1.直线与平面、平面与平面的位置关系.

2.“正难到反”数学思想与反证法解题步骤.

3.“分类讨论”数学思想

学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.

培养学生归纳整合知识能力,培养学生思维的灵活性与严谨性.

作业

2.1 第一课时 习案

学生独立完成

固化知识

提升能力

备用例题

例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的(     )

A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交

D.无数条直线都不相交

【解析】直线与平面平行,那么直线与平面内的任意直线都不相交,反之亦然;故应选C.

例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的(    ).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件

【解析】如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面平行,应选B.

 

例3  求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,则这条直线在这个平面内.

已知:l∥,点P∈,Pmml

求证:.

证明:设lP确定的平面为,且= m′,则lm′.

又知lm,,

由平行公理可知,mm′重合.

所以.

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