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第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系

第二课时  空间中直线与直线之间的位置关系

(一)教学目标

1.知识与技能

(1)了解空间中两条直线的位置关系;

(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;

(3)理解并掌握公理4;

(4)理解并掌握等角公理;

(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

2.过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.

3.情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.

(二)教学重点、难点

重点:1、异面直线的概念;      2、公理4及等角定理.

难点:异面直线所成角的计算.

(三)教学方法

师生的共同讨论与讲授法相结合;

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

问题:在同一平面内,两条直线有几种位置关系?空间的两条直线还有没有其他位置关系?

师投影问题,学生讨论回答

1:在同一平面内,两条直线的位置关系有:平行与相交.

2:空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系,如教室里的电灯线与墙角线……

师(肯定):这种位置关系我们把它称为异面直线,这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.

以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.

探索新知

1.空间的两条直线位置关系:

共面直线

 

异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

 

师:根据刚才的分析,空间的两条直线的位置关系有以下三种:①相交直线—有且仅有一个公共点

②平行直线—在同一平面内,没有公共点.

③异面直线—不同在任何一个平面内,没有公共点.

 

随堂练习:

如图所示P50-16是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么ABCDEFGH这四条线段所在直线是异面直线的有        对.

答案:4对,分别是HG与EF,AB与CD,AB与EF,AB与HG.

现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类

生:按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类:一类是平行直线和相交直线,它们是共面直线.一类是异面直线,它们不同在任何一个平面内.

师(肯定)所以异面直线的特征可说成“既不平行,也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”

学生讨论发现不能去掉“任何”

师:“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面,使两异面直线在该平面内”

培养学生分类的能力,加深学生对空间的一条直线位置关系的理解

(1)公理4,平行于同一条直线的两条直线互相平行

(2)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

例2 如图所示,空间四边形ABCD中,EFGH分别是ABBCCDDA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.

证明:连接BD

因为EH是△ABD的中位线,

所以EHBD,且.

同理FGBD,且.

因为EHFG,且EH = FG

所以 四边形EFGH为平行四边形.

师:现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.

师:我们把上述规律作为本章的第4个公理.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

师:现在请大家思考公理4是否可以推广,它有什么作用.

生:推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.

师(肯定)下面我们来看一个例子

观察图,在长方体ABCDABCD′中,∠ADC与∠ADC′,∠ADC 与∠ABC′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?

生:从图中可以看出,

ADC = ∠ADC′,

ADC + ∠ABC′=180°

师:一般地,有以下定理:……这个定理可以用公理4证明,是公理4的一个推广,我们把它称为等角定理.

师打出投影片让学生尝试作图,在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.

师:在图中EHFG有怎样的特点?它们有直接的联系吗?引导学生找出证明思路.

 

 

培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.

 

通过分析和引导,培养学生解题能力.

探索新知

3.异面直线所成的角

(1)异面直线所成角的概念.

已知两条异面直线ab,经过空间任一点O作直线a′∥ab′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线ab所成的角(或夹角).

(2)异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线ab,记作ab.

例3 如图,已知正方体ABCDABCD′.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?

(3)哪此棱所在的直线与直线AA′垂直?

解:(1)由异面直线的定义可知,棱ADDCCC′、DD′、DC′、BC′所在直线分别与直线BA′是异面直线.

(2)由BB′∥CC′可知,∠BBA′为异面直线BACC′的夹角,∠BBA′= 45°.

(3)直线ABBCCDDAAB′、BC′、CD′、DA′分别与直线AA′垂直.

师讲述异面直线所成的角的定义,然后学生共同对定义进行分析,得出如下结论.

①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;

②两条异面直线所成的角

③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上;

④找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;

⑤当两条异面直线所成的角是直线时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线ab互相垂直,也记作ab

⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.

然后师生共同分析例题

加深对平面直线所成角的理解,培养空间想象能图力和转化化归以能力.

随堂练习

1.填空题:

(1)如图,AA′是长方体的一条棱,长方体中与AA′平行的棱共有      条.

(2)如果OAOA′,OBOB′,那么∠AOB和∠AOB′         .

答案:(1)3条. 分别是BB′,CC′,DD′;(2)相等或互补.

2.如图,已知长方体ABCDABCD′中,AB =,AD =,AA′ =2.

(1)BCAC′所成的角是多少度?

(2)AA′ 和BC′ 所成的角是多少度?

学生独立完成

答案:.

2.(1)因为BCBC′,所以∠BCA′是异面直线AC′与BC所成的角. 在Rt△ABC′中,AB′=,BC′=,所以∠BCA′ = 45°.

(2)因为AA′∥BB′,所以∠BBC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.

在Rt△BBC′中,BC′ = AD =,BB′= AA′=2,

所以BC′= 4,∠BBC′= 60°.

因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

 

归纳总结

1.空间中两条直线的位置关系.

2.平行公理及等角定理.

3.异面直线所成的角.

学生归纳,教师点评并完善

培养学生归纳总结能力,加深学生对知识的掌握,完善学生知识结构.

作业

2.1 第二课时 习案

学生独立完成

固化知识

提升能力

附加例题     

例1  “ab为异面直线”是指:

ab =,且ab

a面,b面,且ab =;

a面,b面,且∩=;

a面,b面;

⑤不存在面,使a面,b面成立.

上述结论中,正确的是(    )

A.①④⑤正确            B.①③④正确

C.仅②④正确            D.仅①⑤正确

【解析】 ①等价于ab既不相交,又不平行,故ab是异面直线;②等价于ab不同在同一平面内,故ab是异面直线.故选D

例2  如果异面直线ab所成角为50°P为空间一定点,则过点Pab所成的角都是30°的直线有且仅有           条.

【解析】如图所示,过定点Pa、b的平行线

ab,因ab成50°角,∴ab也成50°角.过P作∠APB的平分线,取较小的角有

APO =∠BPO = 25°.

∵∠APAAPO

∴过P作直线lab成30°角的直线有2条.

例3  空间四边形ABCD,已知AD =1,BD =,且ADBC,对角线BD =,AC =,求ACBD所成的角。

【解析】取ABADDCBD中点为EFGM,连EFFGGMMEEG.

     MG  

      EM  

ADBC  ∴EMMG

R t△EMG中,有

RFG中,∵EF =

 

EF 2 +FG 2 = EG 2

EFFG,即ACBD

ACBD所成角为90°.

【点评】根据异面直线成角的定义,异面直线所成角的求法通常采用平移直线,转化为相交直线所成角,注意角的范围是.

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